Un certain nombre de points paraissent bien établis sur la vie et l'activité de Pythagore. Ses voyages le conduisirent en Égypte et à Babylone. Il y aurait étudié les mathématiques que l'on pratiquait dans ces pays. En 530 av. J.-C., il s'installa en Italie du Sud, à Crotone, pour fuir la tyrannie de Polycrate. Il y fonda une société, organisée autour du maître et de sa doctrine, qui joua un rôle important pour la cité et pour toute la Grande-Grèce. Sa position politique, favorable à l'ordre et à la hiérarchie, lui valut le soutient des aristocraties locales. L'opposition des démocrates contraignit Pythagore à quitter Crotone. Vers 500 av. J.-C., il s'installa à Métaponte, où il passa le reste de sa vie. Les révolutions démocratiques du milieu du Ve siècle achevèrent de détruire la secte, chassant les derniers disciples vers Tarente.
L'enseignement au sein de la société
Cette société était divisée en deux classes. Les «auditeurs» étaient tenus au silence et ne pouvaient que retenir les paroles du maître. Les «mathématiciens», c'est-à-dire les «instruits», étant passés par une longue période de préparation, pouvaient poser des questions et émettre des opinions. L'enseignement de Pythagore était réservé à un petit nombre, les autres recevant donc une parole souvent déformée. Là où les premiers pouvaient ne percevoir que propos à valeur symbolique, les derniers voyaient des instructions à respecter à la lettre malgré leur absence de signification. On ignore par exemple pourquoi la consommation des fèves était interdite. De manière générale, les comportements étaient soumis à des obligations nombreuses.
L'importance des nombres
Parmi les croyances en cours chez les pythagoriciens figure la métempsycose, c'est-à-dire la transmigration des âmes, doctrine d'origine indienne. Mais le trait le plus original est l'importance accordée au nombre, ou plus exactement au nombre entier. Celui-ci donne lieu à une représentation par des points. Leur éventuel arrangement régulier en figures simples induit la considération de familles de «nombres figurés», les nombres triangulaires (1, 2, 3, 6, etc.) et les nombres carrés (1, 4, 9, etc.) par exemple. Les pythagoriciens développèrent une arithmétique autour de ces considérations. Ils s'intéressèrent aussi aux nombres «parfaits», ceux qui égalent la somme de leurs facteurs, tel 6 égal à 1 + 2 + 3, et dont Euclide à donné la théorie générale dans le livre IX des Éléments. Les nombres «amis» constituèrent un autre domaine de recherche. Il s'agit de paires de nombres dans lesquelles la somme des facteurs de l'un égale l'autre. L'exemple de 284 et de 220 aurait été trouvé par Pythagore, et il aurait été le seul connu dans l'Antiquité. Les proportions furent également un objet d'étude poussée, repris par Euclide, qui en étendit la théorie à toutes sortes de grandeurs dans le livre V des Éléments.
Arithmétique et cosmologie
La raison de cet intérêt prononcé pour l'arithmétique réside dans la conviction que les nombres constituent l'essence des choses. Cette doctrine tirait sans doute sa source de trois considérations. L'une fut la relation constatée entre les hauteurs des sons et les longueurs des codes des instruments de musique. Une autre fut peut-être le constat qu'un triangle dont les côtés ont pour mesures 3, 4 et 5 est rectangle. La troisième fut l'existence de relations numériques dans les mouvements des corps célestes.
Le théorème de Pythagore
Les recherches géométriques furent moins développées par les pythagoriciens. «Le théorème de Pythagore» ne fut ni découvert ni sans doute démontré par celui qui lui a donné son nom. Ces recherches conduisirent néanmoins à une découverte de l'incommensurabilité, de première importance pour le développement des mathématiques. La diagonale du carré ne contenant pas un nombre entier de fois le côté, le problème était de trouver une fraction du côté qui soit contenue un nombre entier de fois dans l'un et dans l'autre. Des pythagoriciens démontrèrent l'impossibilité de trouver une telle «commune mesure», jetant un trouble profond dans les cercles savants de la société.
Astres et musique
Ces derniers cultivèrent par ailleurs la théorie des intervalles musicaux ainsi que l'étude des astres. Ils furent les premiers à classer les planètes, c'est-à-dire, outre le Soleil et la Lune, Mercure, Vénus, Mars, Jupiter et Saturne, selon leurs distances supposées à la Terre. Ils tentèrent d'accorder ces distances, ainsi que les périodes de révolutions, avec les intervalles musicaux, développant la conception des sphères célestes et de leur musique.
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